یع دو جملهای (Binomial Distribution) یکی از توزیع‌های مهم در آمار و احتمال است که برای مدل‌سازی تعداد موفقیت‌ها در یک سری آزمایش‌های مستقل با دو نتیجه ممکن (موفقیت یا شکست) استفاده می‌شود. در اینجا به توضیح این توزیع و ویژگی‌های آن می‌پردازیم:
تعریف توزیع دو جملهای
توزیع دو جملهای برای یک متغیر تصادفی ?? تعریف می‌شود که نشان‌دهنده تعداد موفقیت‌ها در ?? آزمایش مستقل است. هر آزمایش دو نتیجه ممکن دارد: موفقیت (با احتمال ??) و شکست (با احتمال ??=1−??).
فرمول
تابع چگالی احتمال توزیع دو جملهای به صورت زیر است:
??(??=??)=(????)????(1−??)??−??
که در آن:
- ??(??=??): احتمال وقوع ?? موفقیت در ?? آزمایش
- (????): تعداد ترکیب‌ها (تعداد راه‌هایی که می‌توان ?? موفقیت را در ?? آزمایش ترتیب داد)
- ??: احتمال موفقیت در هر آزمایش
- 1−??: احتمال شکست در هر آزمایش
- ??: تعداد کل آزمایش‌ها
- ??: تعداد موفقیت‌ها
ویژگی‌ها
- میانگین (Expected Value): ??(??)=??⋅??
- واریانس (Variance): ??????(??)=??⋅??⋅(1−??)
- دامنه: ?? می‌تواند از 0 تا ?? باشد.
کاربردها
توزیع دو جملهای در بسیاری از زمینه‌ها کاربرد دارد، از جمله:
- تحلیل داده‌های آزمایشی
- مدل‌سازی نتایج در بازی‌های شانس (مثلاً پرتاب سکه)
- تحلیل کیفیت در تولیدات صنعتی
مثال
فرض کنید یک سکه عادل 10 بار پرتاب می‌شود و می‌خواهیم احتمال وقوع 4 بار شیر (موفقیت) را محاسبه کنیم. در اینجا:
- ??=10
- ??=0.5 (چرا که سکه عادل است)
- ??=4
محاسبه احتمال:
??(??=4)=(104)(0.5)4(0.5)10−4=(104)(0.5)10
با محاسبه (104)=210 و (0.5)10=11024:
??(??=4)=210⋅11024≈0.205
این یعنی احتمال اینکه در 10 بار پرتاب، 4 بار شیر بیفتد حدود 20.5 درصد است.
روش های انتخاب افراد نمونه در پژوهش
نوشته
روش های بررسی نرمال بودن توزیع داده ها و شرایط استفاده از هر روش چیست؟
نوشته
نوشته
ارتقاء سلامت سازمانی در مدارس: اهمیت و راهکارها
نوشته
فرمول تاباچنیک و فیدل برای نمونه‌گیری
.: Weblog Themes By Pichak :.
